自己言及のパラドックス(嘘つきのパラドックス)をわかりやすく説明
こんにちは！マツケンです！
今回は、計算機の授業中に「停止問題」というものの証明を説明されたのですが、何を言っているか理解できませんでした...
Wikipediaや他大学で公開されている授業スライド、テキストなどをいくつか見ましたが、「教科書通り」の説明だったり、「そもそも行ってることおかしくない？」というものばかりでした...
自分なりにうまくまとめられたと思うので、分かりやすくなっていると思います！
本題に入る前に
本題に入る前に、ざっと例を書きますので、「おかしいな...」と感じてみてください。
「ある日本人が「日本人って嘘つきだよね～」といいました。」
どうでしょう？なんか考えれば考えるほど頭が混乱しませんか？
解説すると、
もし「日本人って嘘つきだよね～」が真実ならば、その日本人は"日本人"なので嘘つきであることになる。
では、その日本人が嘘つきならば、その人の発言である「日本人って嘘つきだよね～」という発言は嘘なので、
その人は嘘をつかない人になってしまうのです。
集合論におけるパラドックスの厳密な証明
「自分自身を要素として含まない集合の集合」をBとする。このような集合が存在しないことを背理法を用いて示していく。
もし、Bが自分自身を要素として含まないのならば、BにBは含まれていないことになる。
しかし、Bの設定上、自分自身を含んでいない集合をすべて集めたものであって、BにBが含まれていなければならないことになるので矛盾。
もし、Bが自分自身を要素として含む集合の集合ならば、それは上で挙げたBの設定から矛盾。
これは、「自分自身を要素として含まない集合の集合」が存在していると仮定したところ矛盾が生じた。
ゆえに、「自分自身を要素として含まない集合の集合」は存在しない。
こんな感じです。赤線部のところが全く納得いかなかったんです。しかし、ネット上や図書館にある物は見たところ、このような証明ばかり...
どうやってここを理解したかというと、自分で例を作り上げてイメージをしやすいものとしました！
マツケンの「集合論におけるパラドックス」のイメージ化
とりあえず上で挙げたBを"高校生"として、「"高校生"という集合を要素として含まないすべての集合」とする。
この集合が存在するのか考えていく。
➀もし、"高校生"という集合が"高校生"という集合を含まない場合、"高校生"は"高校生"という集合を含んでいないことになる。
しかし、"高校生"という集合の設定上、"高校生"を含まない集合すべてを含むので、"高校生"という集合に"高校生"が含まれてないといけない。
ようは、赤文字の「理系」と「文系」の集合を集合として同じくくりに入れると、それは"高校生"という集合を集合の要素としていることに等しいということです！
- "高校生" = {"理系", "文系"}
以上より矛盾。
➁もし、"高校生"の集合に"高校生"が含まれている場合は、今回の"高校生"の集合の設定に反することなので矛盾。
いかがでしたでしょうか？至らない点がありましたら是非コメントをお願いいたします。
